【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
的單調區(qū)間;
(2)當時,證明:
(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1)當時,
的遞增區(qū)間為
;
當時,
的遞增區(qū)間為
,
,遞減區(qū)間為
;
當時,
的遞增區(qū)間為
,
,遞減區(qū)間為
;
(2)見解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論的取值范圍,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可.
(2)問題轉化為,令
,根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可.
(1)由題意,函數(shù)的定義域為
,
當時,
恒成立,故
的遞增區(qū)間為
;
當時,在區(qū)間
,
時
,
時
,
所以的遞增區(qū)間為
,
,遞減區(qū)間為
;
當時,在區(qū)間
,
時
,
時
,
所以的遞增區(qū)間為
,
,遞減區(qū)間為
;
綜上所述,當時,
的遞增區(qū)間為
;
當時,
的遞增區(qū)間為
,
,遞減區(qū)間為
;
當時,
的遞增區(qū)間為
,
,遞減區(qū)間為
;
(2)當時,由
,只需證明
.
令
,
.
設,則
.
當時,
,
單調遞減;
當時,
,
單調遞增,
∴當時,
取得唯一的極小值,也是最小值.
的最小值是
成立.
故成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“割圓術”是劉徽最突出的數(shù)學成就之一,他在《九章算術注》中提出割圓術,并作為計算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎,劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值,這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當分割到圓內(nèi)接正六邊形時,某同學利用計算機隨機模擬法向圓內(nèi)隨機投擲點,計算得出該點落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
①當時,函數(shù)
有______零點;
②若函數(shù)的值域為
,則實數(shù)
的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為
(t為參數(shù))。以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求的普通方程和
的直角坐標方程;
(2)若,
交于A,B兩點,P點極坐標為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,左、右焦點分別是
,橢圓
上短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
;
(1)求橢圓的方程;
(2)過作垂直于
軸的直線
交橢圓
于
兩點(點
在第二象限),
是橢圓上位于直線
兩側的動點,若
,求證:直線
的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(),把函數(shù)f(x)的圖象向左平移
個單位得函數(shù)g(x)的圖象,則下面結論正確的是( )
A.函數(shù)g(x)是偶函數(shù)
B.函數(shù)g(x)的最小正周期是4π
C.函數(shù)g(x)在區(qū)間[π,3π]上是增區(qū)數(shù)
D.函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=π對稱
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