Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．-

π

2

＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸交點為（-

π

6

，0），相鄰最高點坐標為（

π

12

，1）．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）若y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于點（

π

12

，0）成中心對稱，求y=g（x）的解析式及單調增區(qū)間．
（3）求函數h（x）=log 

1

2

f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據題意，求出A、ω與φ的值，即得f（x）的解析式；
（2）求出與y=f（x）的圖象關于點（

π

12

，0）成中心對稱的函數g（x），再求出它的單調增區(qū)間；
（3）求出h（x）的定義域，再根據復合函數的單調性，求出h（x）的單調增區(qū)間．

解答： 解：（1）根據題意，A=1，

π

12

ω+φ=

π

2

，
又（-

π

6

）ω+φ=0；
解得ω=2，φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（2）∵與y=f（x）的圖象關于點（

π

12

，0）成中心對稱的函數是
-y=f（-（x-2×

π

12

）），
即-y=sin[-2（x-

π

6

）+

π

3

]，
∴y=sin（2x-

2π

3

）；
即g（x）=sin（2x-

2π

3

）；
令-

π

2

+2kπ≤2x-

2π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

6

+2kπ≤2x≤

7π

6

+2kπ，k∈Z，
即

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ，k∈Z；
∴g（x）的單調增區(qū)間是[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，k∈Z；
（3）∵h（x）=log

1

2

f（x）=log

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴sin（2x+

π

3

）＞0，且sin（2x+

π

2

）是減函數；
∴2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

＜π+2kπ，k∈Z；
即

π

6

+2kπ≤2x＜

2π

3

+2kπ，k∈Z，
∴

π

12

+kπ≤x＜

π

3

+kπ，k∈Z；
∴h（x）的單調增區(qū)間是[

π

12

+kπ，

π

3

+kπ），k∈Z．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了復合函數的單調性問題，函數圖象的對稱問題，
是綜合題目．