Question

已知P為橢圓

x2

2

+y²=1上一點，F(xiàn)₁、F₂分別為該橢圓的左、右兩焦點．
（1）若△PF₁F₂為直角三角形，且滿足PF₁≥PF₂，求PF₁：PF₂的值；
（2）設(shè)點M（t，0）（t∈R），求PM的最小值．（用t表示）

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）首先根據(jù)題中的已知條件建立相應(yīng)的方程組，解方程組求得比值．
（2）分以下四種情況進行分類討論：①當0≤t≤

2

 ②當t＞

2

 ③當-

2

≤t≤0 ④當t＜-

2

根據(jù)各種情況求得最小值．

解答： 解：（1）已知橢圓的方程為：

x2

2

+y²=1，點P為橢圓上的點，F(xiàn)₁、F₂分別為該橢圓的左、右兩焦點
|PF₁|+|PF₂|=2

2

①
∵△PF₁F₂為直角三角形
∴|PF1|2+|PF2|2=4②
∴

|PF1|2+|PF2|2=4 |PF2|+|PF1|=2 2

解得：|PF1|=

2

  |PF2|=

2

∴

|PF1|

|PF2|

=1
（2）點P為橢圓上的點，點M（t，0）（t∈R）則：

x= 2 cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù))
|PM|=

( 2 cosθ-t)2+sin2θ

=

(cosθ- 2 t)2+1-t2

則：①-1≤

2

t≤1時，-

2

2

≤t≤

2

2

|PM|min=

1-t2

②當

2

t＞1時，即t＞

2

2

|PM|_min=

(1- 2 t)2+1-t2

=|t-

2

|
③當

2

t＜-1時，即t＜-

2

2

|PM|_min=

(-1- 2 t)2+1-t2

=|t+

2

|

點評：本題考查的知識點：橢圓的定義及方程，勾股定理，分類討論問題及相關(guān)的運算問題．