Question

(14分)已知函數(shù)．
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；
(Ⅱ)求證：；
(Ⅲ)對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè)函數(shù)，，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)的最小值為；(Ⅱ)詳見解析；（Ⅲ），

試題分析：(Ⅰ)求導(dǎo)得：，由此可得函數(shù)在上遞減，上遞增，
從而得的最小值為．
(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小題的結(jié)果.由(Ⅰ)知.這個不等式如何用？結(jié)合所在證的不等式可以看出，可以兩端同時乘以變形為：，把換成得，在這個不等式中令然后將各不等式相乘即得.
（Ⅲ）結(jié)合題中定義可知，分界線就是一條把兩個函數(shù)的圖象分開的直線.那么如何確定兩個函數(shù)是否存在分界線？顯然，如果兩個函數(shù)的圖象沒有公共點，則它們有無數(shù)條分界線，如果兩個函數(shù)至少有兩個公共點，則它們沒有分界線.所以接下來我們就研究這兩個函數(shù)是否有公共點.為此設(shè).通過求導(dǎo)可得當(dāng)時取得最小值0，這說明與的圖象在處有公共點．如果它們存在分界線，則這條分界線必過該點.所以設(shè)與的“分界線”方程為.由于的最小值為0，所以，所以分界線必滿足和.下面就利用這兩個不等式來確定的值.
試題解析：(Ⅰ)解：因為，令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)在上遞減，上遞增，
所以的最小值為．                           3分
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值，所以，即
兩端同時乘以得，把換成得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
由得，，， ，
，．
將上式相乘得
．         9分
（Ⅲ）設(shè).
則．
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．
因此時取得最小值0，則與的圖象在處有公共點．
設(shè)與存在 “分界線”，方程為.
由在恒成立，
則在恒成立.
所以成立.因此.
下面證明成立.
設(shè)，.
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
因此時取得最大值0，則成立.
所以，.                                  14分