三棱錐P－ABC中，PA=a，AB=AC=2a，∠PAB＝∠PAC=∠BAC＝60°，求三棱錐P－ABC的體積．

答案：略
解析：

解法一：如圖，設(shè)P在底面的射影為O，連結(jié)OE、PE．依題意，得

△PAB中AB邊上的高，進(jìn)而求得，．

解法二：取AB、AC的中點(diǎn)M、N，則三棱錐P－AMN是棱長為a的正四面體，∴，從而．

解法三：延長AP至Q，使AQ＝2a，連結(jié)QB、QC，則三棱錐Q－ABC是棱長為2a的正四面體，∴，

∴．

解法四：在△ABC中．∵PA=a，AB＝2a，∠PAB＝60°，由余弦定理得，，∴∠APB＝90°．同理∠APC＝90°，∴AP⊥平面PBC．

∴，∴．

　


提示：

在三棱錐的等積變換過程中，常用的一種方法是變換頂點(diǎn)和底面的位置．


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如圖，在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，

求證：OD∥平面PAB．

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本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N為AB上一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)．

(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大小．

 

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如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點(diǎn)為球O的球心

 

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已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.

 

 

 

 

 

 

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（14分）

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小。

 

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