Question

函數(shù)f（x）=lg

2+ax

2+x

是奇函數(shù)，則實常數(shù)a的值為

-1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)奇函數(shù)的定義得到a的值，再結(jié)合定義域關(guān)于原點對稱即可確定實常數(shù)a的值．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=lg

2+ax

2+x

是奇函數(shù)；
所以：f（-x）+f（x）=0⇒lg

2+ax

2+x

+lg

2-ax

2-x

=0⇒lg

4-a2x2

4-x2

=0⇒

4-a2x 2

4-x2

=1．
∴a=±1，
當(dāng)a=1時，f（x）=lg

2+x

2+x

=1，定義域為{x|x≠-2}不關(guān)于原點對稱，舍；
當(dāng)a=-1時，f（x）=lg

2-x

2+x

成立．
故答案為：-1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．一個函數(shù)存在奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱．