Question

已知a_n=A_n¹+A_n²+A_n³+…+A_nⁿ（n∈N^*），當(dāng)n≥2時(shí)，求證：
（1）an-1+1=

an

n

；
（2）(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)…(1+

1

an

)≤3-

1

n

．

Answer 1

分析：（1）首先整理一般的排列數(shù)，得到兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從要證明的等式的右邊入手，利用前面整理出來(lái)的結(jié)果，代換式子中的量，展開(kāi)得到結(jié)果，即原等式得證．
（2）根據(jù)第一問(wèn)得到的結(jié)論，整理要證明的不等式的右邊，利用1+

1

an-1

=

an

nan-1

代換，放縮變換，再裂項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得到要求的結(jié)果不等式得證．

解答：證明：（1）∵

A

k n

=

n!

(n-k)!

=n•

(n-1)!

[(n-1)-(k-1)]!

=n

A

k-1 n-1

(2≤k≤n)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，

an

n

=

1

n

（A_n¹+A_n²+…+A_nⁿ）=

1

n

[n+(n

A

1 n-1

++n

A

n-1 n-1

)]
=1+（A_n-1¹+…+A_n-1^n-1）=1+a_n-1．
∴an-1+1=

an

n

．
（2）由（1）得

an-1+1

an-1

=

an

nan-1

，即1+

1

an-1

=

an

nan-1

，
∴(1+

1

a1

)•(1+

1

a2

)•(1+

1

a3

)••(1+

1

an

)=

a2

2a1

•

a3

3a2

•

a4

4a3

…

an+1

(n+1)an

=

an+1

(n+1)!

=

1

(n+1)!

（A_n+1¹+A_n+1²+…+A_n+1ⁿ⁺¹）
=

1

n!

+

1

(n-1)!

+…+

1

2!

+

1

1!

+1≤

1

n(n-1)

+

1

(n-1)(n-2)

+…+

1

1×2

+2
=(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n-1

+

1

n-2

)+…+(1-

1

2

)+2=3-

1

n

．
∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的證明，考查放縮法證明不等式，考查裂項(xiàng)求數(shù)列的和，是一個(gè)綜合題，是一個(gè)中檔題目．