Question

已知A、B為拋物線C：y2 = 4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點(diǎn).

（1）若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，求證：動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上，并求此直線方程；

（2）設(shè)C、D為直線l1、l2與直線x = 4的交點(diǎn)，求面積的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)， （），方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用直線與拋物線y2 = 4x相切，故，求，故切線的方程。同理可求得切線方程為，聯(lián)立得交點(diǎn)，再注意到已知條件直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，故表示直線AB的方程為，將拋物線焦點(diǎn)代入，得，從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)P在定直線上；（2）列面積關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最小值即可，由已知得，，，故，又高為，故三角形的面積為，再求最小值即可．

（1）設(shè)， （）.

易知斜率存在，設(shè)為，則方程為.

由得， ①

由直線與拋物線相切，知.

于是，，方程為.

同理，方程為.

聯(lián)立、方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為 ，

∵ ，方程為，

過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

∴，∴，點(diǎn)P在定直線上.

（2）由（1）知，的坐標(biāo)分別為，

∴.

∴ .

設(shè)（），，

由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

∴ .

設(shè)，則.

∴ 時(shí)，；時(shí)，.在區(qū)間上為減函數(shù)；

在區(qū)間上為增函數(shù).∴ 時(shí)，取最小值.

∴ 當(dāng)，，

即，時(shí)，面積取最小值. 13分

考點(diǎn)：1、直線和拋物線的位置關(guān)系；2、函數(shù)的最小值.