Question

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三處，且AB=AC=a，BC=2b，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）．

（1）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

（2）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． （1）解：由題設(shè)可知，a>b>0，記，設(shè)P的坐標(biāo)為(0，y)，則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(y)取得最小值． 答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是． （2）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為，由 解得，記，于是，當(dāng)，即h³b時(shí)，在上是增函數(shù)，而|h-y|在上是減函數(shù)，由此可知當(dāng)y=y*時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值，當(dāng)，即h<b時(shí)，函數(shù) 在上，當(dāng)y=0，取得最小值b，而|h-y|在上為減函數(shù)，且|h-y|>b，可見(jiàn)，當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值，答當(dāng)h³b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)h<b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)，其中 解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為 由解得，記，于是 當(dāng)y*³0，即h³b時(shí)，z=g(y)的圖像如圖(a)，因此，當(dāng)y=y*時(shí)，函數(shù)g(y)取得得小值． 當(dāng)y<y*，即h<b時(shí)，z=g(y)的圖像如圖(b)，因此，當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)g(y)取得得小值． 答：當(dāng)h³b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)h<b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)，其中． 解法三：因?yàn)樵?/span>DABC中，AB=AC=a，所以DABC的外心 M在射線AO上，其中坐標(biāo)為，且AM=BM=CM．當(dāng)P在射線MA上，記P為P1；當(dāng)P在射線MA的反向延長(zhǎng)線上，記P為P2，若（如圖1），則點(diǎn)M在線段AO上，這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P1C和P2A，且P1C³MC，P2A³MA，所以點(diǎn)P與外心M重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最�。� 若（如圖2），則點(diǎn)M在線段AO外，這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P1C或P2A，且P1C³OC，P2A³OC，所以點(diǎn)P與BC邊中心O重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小為b． 答：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的位置在DABC的外心；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的位置在原點(diǎn)O．