Question

已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，P，在橢圓E上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=，|PF₂|=．
（1）求橢圓E方程；
（2）若直線l過圓M：x²+y²+6x-2y=0的圓心M，交橢圓E于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知2a=|PF₁|+|PF₂|=10，a=5，，由此可求出橢圓C的方程．
（2）設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由題意x₁≠x₂分別代入橢圓的方程后作差，結合點差法再利用A、B關于點M對稱，所以x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，代入③得直線l的斜率，由此可求出直線l的方程．
解答：解：（1）因為點P在橢圓C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=10，a=5．
在Rt△PF₁F₂中，，
故橢圓的半焦距c=4，
從而b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為 =1．
（2）已知圓的方程為（x+3）²+（y-1）²=5，
所以圓心M的坐標為（-3，1）．
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題意x₁≠x₂且 ，①，②
由①-②得 ．③
因為A、B關于點M對稱，
所以x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，
代入③得 =，
即直線l的斜率為 ，
所以直線l的方程為y-1=（x+3），
即27x-25y+106=0．
點評：本題綜合考查直線和圓、橢圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．