Question

（本小題滿分14分）已知函數，過點作曲線的兩條切線，，切點分別為，．

（1）當時，求函數的單調遞增區(qū)間；

（2）設，求函數的表達式；

（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數，在區(qū)間內，總存在個數使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）6.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求曲線的切線、均值定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力. 第一問，對求導，利用，解不等式結合函數的定義域，求出函數的單調遞增區(qū)間；第二問，設出點M、N的橫坐標，利用導數，寫出切線PM和切線PN的直線方程，由于它們都過點，所以整理出兩個表達式，由于兩個表達式形式一樣，所以可以看出，和是方程的根，利用韋達定理得到和，代入到中，即得到的關系式；第三問，結合第二問判斷出在上為增函數，將不等式成立，轉化為恒成立，整理表達式，轉化為恒成立，利用均值不等式變形得到結論.

試題解析：（1）當時，

解得.

∵

∴函數有單調遞增區(qū)間為

（2）設，兩點的橫坐標分別為、，

∴切線的方程為：

∴切線過點，所以有

即 ①

同理，由切線過點，，得 ②

由（1）、（2），可得是方程的兩根，

③

把③式代入，得

因此，函數的表達式為

（3）易知在區(qū)間上為增函數，

則

恒成立，

所以不等式恒成立，

即恒成立，

，由于為正整數，.

又當，存在任意的正整數滿足條件

∴的最大值為6.

考點：導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求曲線的切線、均值定理.