Question

如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示．
（Ⅰ）若甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求a的值；
（Ⅱ）求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,莖葉圖,等可能事件的概率

專(zhuān)題：計(jì)算題,圖表型,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）直接由甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相等列式求解a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的結(jié)果可得，當(dāng)a=2，…，9時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率；
（Ⅲ）用枚舉法列出所有可能的成績(jī)結(jié)果，查出兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的情況數(shù)，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率．

解答： 解：（Ⅰ）由甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相等，得

1

3

(88+92+92)=

1

3

[90+91+(90+a)]，
解得a=1；
（Ⅱ）設(shè)“乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)”為事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10種可能．
由（Ⅰ）可知，當(dāng)a=1時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，
∴當(dāng)a=2，…，9時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，共有8種可能．
∴乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率P（A）=

8

10

=

4

5

；
（Ⅲ）設(shè)“這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)（2分）”為事件B，
當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有3×3=9種，它們是：
（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴事件B的結(jié)果有7種，它們是：（88，90），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)（2分）的概率P（B）=

7

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了莖葉圖，考查了等可能事件的概率及古典概型概率計(jì)算公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．