Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差數(shù)列．
（Ⅰ）設b_n=（n+1）a_n-n+2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）（僅理科做） 若a_n-b_n≤kn對一切n∈N*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：，…1分
∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分），
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即．
∴． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵，
∴a_n-b_n≤kn，即．
設，，，
則c_n 隨著n的增大而減小，…8分
∵=，
∴n≥5時，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n隨著n的增大而減小，…10分
則n≥5時，e_n隨著n的增大而減�。� …
∵c₁=，c₂=，c₃=，c₄=，c₅=，
d₁=，d₂=0，d₃=，d₄=，d₅=，
∴e₁=0，e₂=，e₃=，e₄=，e₅=．
則e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=最大．
∴實數(shù)k的取值范圍k≥． …13分．
分析：（Ⅰ），由b₁=2a₁-1+2=-1，知，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由，知．由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由，知．設，，，則c_n 隨著n的增大而減小，=，所以n≥5時，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n隨著n的增大而減小，n≥5時，e_n隨著n的增大而減�。� 由此能求出實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．