Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

（n∈N^*）前n項(xiàng)和為S_n；數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=2，其前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=nλ•b_n+1（λ為常數(shù)，且λ＜1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及λ的值；
（2）設(shè)c_n=

n

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和P_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

，得a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-2 a_n-1=

n-1

2

，兩式相減得a_n=

1

2n

；由已知條件得

2=λ(2+d) 4+d=2λ(2+2d)

，且λ＜1，解得λ=

1

2

．
（2）由C_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和P_n．

解答： 解：（1）∵a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

，①
∴a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-2 a_n-1=

n-1

2

（n≥2），②
①-②得2^n-1 a_n=

n

2

-

n-1

2

=

1

2

（n≥2），化簡得a_n=

1

2n

（n≥2）．
n=1時(shí)也滿足上式，故a_n=

1

2n

（n∈N^*）．
由于{b_n}成等差，且b₁=2，
設(shè)公差為d，則

2=λ(2+d) 4+d=2λ(2+2d)

，
解得

d=0 λ=2

或

d=2 λ= 1 2

又λ＜1，∴

d=2 λ= 1 2

，∴b_n=2n，
∴

d=2 λ= 1 2

，a_n=

1

2n

（n∈N^*），
∴an=

1

2n

，λ=

1

2

．
（2）∵C_n=n•2ⁿ，
∴p_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，③
2p_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，④
③-④得-p_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴p_n=（1-n）2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)痊相減法的合理運(yùn)用．