Question

已知如圖（1），梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的動點(diǎn)，且EF∥BC，設(shè)AE=x（0＜x＜4）．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如圖（2）．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若以B、C、D、F為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）取得最大值時，求異面直線CD和BE所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由面面垂直的判定定理推出即可；
（2）過D作DH∥AE，則DG=AE，且DH⊥平面EBCF，由f（x）=V_D-BFC =×S△BFC×DH 求出f（x）的解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；
（3）作平行線得到∠AMN即為異面直線CD和BE所成的角，求出此角所在三角形的三邊長，余弦定理求得θ的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，
∴AE⊥BC
∵BE⊥BC，
∴BC⊥平面ABE．
又BC?平面ABCD，
∴平面ABE⊥平面ABCD．  …（4分）
（Ⅱ）∵AD∥平面BFC，
∴…6分
=
即x=2時，f（x）有最大值．  …（8分）
（Ⅲ）取BC中點(diǎn)M，作MN∥BE交EF于N，連結(jié)AM，AN，
∵M(jìn)C∥AD，且MC=AD，
∴AMCD為平行四邊形．∴AM∥CD
∴∠AMN即為異面直線CD和BE所成的角．…（10分）
計(jì)算得，MN=2，，
∴…（12分）
點(diǎn)評：本題考查求三棱錐的體積，求函數(shù)的最大值，求異面直線所成的角的余弦值，找出異面直線所成的角，是解題的關(guān)鍵．