Question

已知橢圓兩焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足=1，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．
（1）求P點坐標；
（2）求直線AB的斜率；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P的坐標，則可分別表示出進而利用=1求得x和y的關(guān)系，同時根據(jù)2x²+y²=4求得x和y即P的坐標．
（2）設(shè)出AP的方程，與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)x_P=1，表示出x_A和y_A，同理表示出點B的坐標，進而求得AB的斜率．
（3）設(shè)出AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而求得x₁-x₂，最后利用弦長公式求得AB的長．利用三角形面積公式求得答案．
解答：解：（1），，設(shè)P（x，y）
則，

又2x²+y²=4，x，y＞0，∴，即所求
（2）設(shè)l_AP：聯(lián)立
得：
∵x_P=1，∴，
則
同理，
∴
（3）設(shè)l_AB：，聯(lián)立，
得：，∴
∴|AB|=
而
∴S=
當且僅當m=±2時等號成立．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．