過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0)作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2).

(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點到其焦點F的距離;

(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

(1) 點M(,)到F的距離為-(-)=.

(2)證明見解析


解析:

(1)當(dāng)y=時,x=.

又拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-,

則點M(,)到F的距離為-(-)=.

(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.

y12-y02=2p(x1-x0),

則kPA=(x1≠x0).

同理,得kPB=(x2≠x0).

由PA、PB的傾斜角互補知kPA=-kPB,

=-,

即y1+y2=-2y0,故=-2.

設(shè)直線AB的斜率為kAB.

y12-y22=2p(x1-x2),

∴kAB=(x1≠x2).

將y1+y2=-2y0(y0>0)代入上式得

kAB=.(P(x0,y0)為一定點,y0>0)

則kAB=-為非零常數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點為B,點A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C,若
AF
=
FB
BA
BC
=48
,則拋物線的方程為(  )
A、y2=4x
B、y2=8x
C、y2=16x
D、y2=4
2
x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0)作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),若PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,則
y1+y2y0
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點,O為拋物線的頂點.則△ABO是一個( �。�
A、等邊三角形B、直角三角形C、不等邊銳角三角形D、鈍角三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線AB交拋物線于A,B兩點,弦AB的中點為M,過M作AB的垂直平分線交x軸于N.
(1)求證:FN=
12
AB
;
(2)過A,B的拋物線的切線相交于P,求P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•武漢模擬)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于M、N兩點,直線OM、ON(O為坐標(biāo)原點)分別與準(zhǔn)線l:x=-
p
2
相交于P、Q兩點,則∠PFQ=(  )

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