Question

（1）公差大于0的等差數(shù)列的前項和為，的前三項分別加上1，1，3后順次成為某個等比數(shù)列的連續(xù)三項，．

①求數(shù)列的通項公式；

②令，若對一切，都有，求的取值范圍；

（2）是否存在各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列，使對一切都成立，若存在，請寫出數(shù)列的一個通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）①設(shè)等差數(shù)列的公差為．

∵∴    ∴

∵的前三項分別加上1，1，3后順次成為某個等比數(shù)列的連續(xù)三項

∴即，∴  

 解得：或

∵  ∴     ∴，                ………4分

②∵ ∴ ∴ ∴，整理得：

∵  ∴                                                   ………7分

（2）假設(shè)存在各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列，使對一切都成立，則

∴新 課  標(biāo)   第  一 網(wǎng)

∴，……，，將個不等式疊乘得：

∴（）                                     ………10分

若，則  ∴當(dāng)時，，即

∵  ∴，令，所以

 與矛盾．                                                   ………13分

若，取為的整數(shù)部分，則當(dāng)時，

∴當(dāng)時，，即

∵  ∴，令，所以

 與矛盾．

∴假設(shè)不成立，即不存在各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列，使對一切都成立．                                                                    ………16分