Question

已知函數f(x)=2x2+1(x∈R)，且對于任意的x恒有f（x）≥f（x₀），則x₀=

0

．

Answer 1

分析：由f(x)=2x2+1(x∈R)，知f′（x）=2x•2 x2+1•ln2．令f′（x）=2x•2 x2+1•ln2=0，得x=0．列表討論知函數f(x)=2x2+1(x∈R)在x=0處取得最小值f（0）=2．由此能求出x₀的值．

解答：解：∵f(x)=2x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=2x•2 x2+1•ln2，
令f′（x）=2x•2 x2+1•ln2=0，得x=0．
列表，討論

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

∴函數f(x)=2x2+1(x∈R)在x=0處取得極小值f（0）=2．
∵函數f(x)=2x2+1(x∈R)只有一個極小值，故這個極小值就是函數f(x)=2x2+1(x∈R)的最小值．
∵函數f(x)=2x2+1(x∈R)對于任意的x恒有f（x）≥f（x₀），
∴f（x）≥f（x）_min=f（0），
∴x₀=0．
故答案為：0．

點評：本題考查函數恒成立問題的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的合理運用．