Question

已知函數(shù)f（x）=x+

4

x

，定義域?yàn)椋?，+∞）．
（1）證明：f（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值或最小值；
（3）若f（x）＞a在x∈[1，+∞）恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），判斷f′（x）在區(qū)間（0，2]上的符號即可證出f（x）在（0，2]是減函數(shù)；
（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性，根據(jù)極值的概念判斷f（x）取得極值的情況：x=2處取得極小值4；
（3）若f（x）＞a即a＜f（x），所以只要讓a小于f（x）在[1，+∞）上的最小值即可．

解答： 解：（1）證明：f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

；
∴x∈（0，2]時，x²-4≤0，即f′（x）≤0；
∴f（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）x∈（2，+∞）時，x²-4＞0，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
∴f（2）=4是f（x）在（0，+∞）上的最小值，顯然無最大值；
（3）a＜f（x）在[1，+∞）上恒成立；
∴a＜f（x）_min即可，由（2）知f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（2）=4；
∴a＜4；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，4）．

點(diǎn)評：考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，極值的概念，以及利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法．