Question

如圖所示的多面體中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=

π

3

，AD=2．
（Ⅰ）求證：平面FCB∥平面AED；
（Ⅱ）若二面角A-EF-C的大小為

π

3

，求線段ED的長．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件得FB∥平面AED，BC∥平面AED，由此能證明平面FBC∥平面EDA．
（Ⅱ）設(shè)ED=a，設(shè)菱形ABCD的對角線交于O點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，連結(jié)MO，分別以O(shè)A，OB，OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段ED的長．

解答： （Ⅰ）證明：在矩形BDEF中，F(xiàn)B∥ED，
∵FB不包含于平面AED，ED?平面AED，
∴FB∥平面AED，
同理，BC∥平面AED，
又FB∩BC=B，
∴平面FBC∥平面EDA．
（Ⅱ）解：設(shè)ED=a，設(shè)菱形ABCD的對角線交于O點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，
連結(jié)MO，則MO∥ED，
∴MO⊥平面ABCD，∴OA，OB，OM兩兩互相垂直，
分別以O(shè)A，OB，OM為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得A（

3

，0，0），E（0，-1，a），C（-

3

，0，0），
∴

EF

=（0，2，0），

AF

=（-

3

，1，a），

CF

=（

3

，1，a），
設(shè)平面AEF的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），
平面CEF的法向量

n

=(x2，y2，z2)，
由

m • EF =0 m • AF =0

，得

2y1=0 - 3 x1+y1+az1=0

，
取x₁=a，得

m

=（a，0，

3

），
則理平面CEF的一個法向量為

n

=(a，0，-

3

)，
∵二面角A-EF-C的大小為

π

3

，
∴cos＜

n

，

m

＞=

a2-3

a2+3

=cos

π

3

=

1

2

，
結(jié)合a＞0，解得a=3，
∴線段ED的長為3．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面平行的證明，考查線段長的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．