Question

【題目】已知點(diǎn)為橢圓C：（，）上一點(diǎn)，和分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓C的上頂點(diǎn)，且.

（1）橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)A、B、P為橢圓C上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，直線與直線交于點(diǎn)Q，試判斷動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡與直線的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，理由見解析.

【解析】

（1）由已知化簡(jiǎn)可得，代入橢圓方程，計(jì)算即可求得結(jié)果；

（2）設(shè),，由化簡(jiǎn)可得，利用軌跡法可求得Q的軌跡方程，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，根據(jù)可求得，利用點(diǎn)差法可求得直線直線的方程，和Q的軌跡方程聯(lián)立，點(diǎn)坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)利用判別式可得出結(jié)論相切.

解：（1）由已知可得：，則

所以 ，，

又由于已知點(diǎn)在橢圓C上，則，解得，，

橢圓C的方程.

（2）設(shè),

∵，直線與直線交于點(diǎn)Q，

∴.

則.

由，得，

∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.

設(shè)直線與直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，且，

當(dāng)時(shí)，∵，，∴，

∴直線的方程為，整理得.

將代入動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程得，.

將代入（※），整理得.

∵，∴直線與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡相切.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，∴直線與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡相切.

綜上可知，直線與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡相切.