Question

已知a，b，c∈R^*，且a+2b+3c=6，
（1）求a²+2b²+3c²的最小值；
（2）求證：

a2

1+a

+

2b2

3+b

+

3c2

5+c

≥

9

7

．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用柯西不等式可得a²+2b²+3c² ≥

(a+2b+3c)2

1+2+3

=

62

6

，從而求得a²+2b²+3c²取得最小值．
（2）根據(jù)

a2

1+a

+

2b2

3+b

+

3c2

5+c

≥

(a+2b+3c)2

(a+1)+2(3+b)+3(5+c)

，以及a+2b+3c=6，即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）利用柯西不等式可得a²+2b²+3c²≥

(a+2b+3c)2

1+2+3

=

62

6

=6，
當且僅當

a2

1

=

2b2

2

=

3c2

3

，即a=b=c=1時，a²+2b²+3c²取得最小值為6．
（2）證明：

a2

1+a

+

2b2

3+b

+

3c2

5+c

≥

(a+2b+3c)2

(a+1)+2(3+b)+3(5+c)

=

62

22+a+2b+3c

=

36

22+6

=

9

7

 （*），
當且僅當

a2

1+a 1+a

=

2b2 3+b

2(3+b)

=

3c2

5+c 3(5+c)

，即

a

1+a

=

b

3+b

=

c

5+c

，即 a：b：c=1：3：5，
即a=

3

11

、b=

9

11

、c=

15

11

 時，（*）式取到等號．

點評：本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，注意式子的變形，屬于基礎(chǔ)題．