【題目】已知函數.
(1)設,
①當時,求曲線
在點
處的切線方程;
②當時,求證:
對任意
恒成立.
(2)討論的極值點個數.
【答案】(1)①;②證明見解析;(2)當
時,
有且僅有一個極值點;當
時,
有三個極值點
【解析】
(1)①將代入,求出切點及斜率,利用點斜式即可得切線方程;
②只需證時,
對任意
都成立,利用導數求其最值即可得證;
(2)只有一個極值點或三個極值點,令
,當
只有一個極值點時,
的圖象必穿過
軸且只穿過一次,即
為單調減函數或者
極值同號,分類討論即可得解,同理可求當
有三個極值點時的情況.
解:(1),
①當時,
,
∴切線方程為;
②證明:要證對任意,
,
只需證時,
對任意
都成立,
,
令得
,
且時,
單減,
時,
單增,
,
在
上單增,
,
∴當時,
對任意
恒成立.
(2),,則
只有一個極值點或三個極值點,
令,當
只有一個極值點時,
的圖象必穿過
軸且只穿過一次,即
為單調減函數或者
極值同號,
(i)為單調減函數時,
在
上恒成立,則
,解得
;
(ii)極值同號時,設
為極值點,
則有解,則
,
且,
,
,
同理,
,
化簡得,
,解得
,
∴當時,
只有一個極值點;
當有三個極值點時,
,同理可得
,
綜上,當時,
有且僅有一個極值點;當
時,
有三個極值點.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某高校共有學生15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300名學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位:小時).
(1)應收集多少位女生的樣本數據?
(2)根據這300個樣本數據,得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據的分組區(qū)間為:,
,
,
,
,
,估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率;
(3)在樣本數據中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時,請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“該校學生的毎周平均體育運動時間與性別有關”.
男生 | 女生 | 總計 | |
每周平均體育運動時間不超過4小時 | |||
每周平均體育運動時間超過4小時 | |||
總計 |
附:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】2019年雙十一落下帷幕,天貓交易額定格在268(單位:十億元)人民幣(下同),再創(chuàng)新高,比去年218(十億元)多了50(十億元).這些數字的背后,除了是消費者買買買的表現,更是購物車里中國新消費的奇跡,為了研究歷年銷售額的變化趨勢,一機構統(tǒng)計了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數據y(單位:十億元),繪制如表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
編號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
銷售額y | 0.9 | 8.7 | 22.4 | 41 | 65 | 94 | 132.5 | 172.5 | 218 | 268 |
根據以上數據繪制散點圖,如圖所示
(1)根據散點圖判斷,與
哪一個適宜作為銷售額
關于
的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果及如表中的數據,建立關于
的回歸方程,并預測2020年天貓雙十一銷售額;(注:數據保留小數點后一位)
(3)把銷售超過100(十億元)的年份叫“暢銷年”,把銷售額超過200(十億元)的年份叫“狂歡年”,從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個,求至少取到一個“狂歡年”的概率.
參考數據:
參考公式:
對于一組數據,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計公式分別
,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(
)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設F為橢圓C的左焦點,T為直線上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);
(ii)當最小時,求點T的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系,對該校名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)
將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”.
(1)請根據上述表格中的統(tǒng)計數據填寫下面列聯(lián)表:
并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關?
(2)在“鍛煉達標”的學生中,按男女用分層抽樣方法抽出人,進行體育鍛煉體會交流.
(i)求這人中,男生、女生各有多少人?
(ii)從參加體會交流的人中,隨機選出
人發(fā)言,記這
人中女生的人數為
,求
的分布列和數學期望.
參考公式:,其中
.
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某公司為了預測下月產品銷售情況,找出了近7個月的產品銷售量(單位:萬件)的統(tǒng)計表:
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售量 |
但其中數據污損不清,經查證,
,
.
(1)請用相關系數說明銷售量與月份代碼
有很強的線性相關關系;
(2)求關于
的回歸方程(系數精確到0.01);
(3)公司經營期間的廣告宣傳費(單位:萬元)(
),每件產品的銷售價為10元,預測第8個月的毛利潤能否突破15萬元,請說明理由.(毛利潤等于銷售金額減去廣告宣傳費)
參考公式及數據:,相關系數
,當
時認為兩個變量有很強的線性相關關系,回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知某地區(qū)某種昆蟲產卵數和溫度有關.現收集了一只該品種昆蟲的產卵數(個)和溫度
(
)的7組觀測數據,其散點圖如所示:
根據散點圖,結合函數知識,可以發(fā)現產卵數和溫度
可用方程
來擬合,令
,結合樣本數據可知
與溫度
可用線性回歸方程來擬合.根據收集到的數據,計算得到如下值:
27 | 74 | 182 |
表中,
.
(1)求和溫度
的回歸方程(回歸系數結果精確到
);
(2)求產卵數關于溫度
的回歸方程;若該地區(qū)一段時間內的氣溫在
之間(包括
與
),估計該品種一只昆蟲的產卵數的范圍.(參考數據:
,
,
,
,
.)
附:對于一組數據,
,…,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設
Ⅰ
為減少對周邊區(qū)域的影響,試確定E,F的位置,使
與
的面積之和最�。�
Ⅱ
為節(jié)省建設成本,求使
的值最小時AE和BF的值.
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