Question

對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足：①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．那么把函數y=f（x）（x∈D）叫做“同族函數”．
（1）求“同族函數”y=x²（x≥0）符合條件②的區(qū)間[a，b]．
（2）是否存在實數k，使函數y=k+

x+2

是“同族函數”？若存在，求實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，函數f（x）=x²在[a，b]上單調遞增，從而得

a=a2 b=b2 b＞a≥0.

從而求得．
（2）假設函數y=k+

x+2

是“同族函數”，從而得到

a=k+ a+2 b=k+ b+2 .

，從而得方程x²-（2k+1）x+k²-2=0 （x≥-2，x≥k）有兩個不相等的實數根；記f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，討論以確定實數k的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，函數f（x）=x²在[a，b]上單調遞增，
則

a=a2 b=b2 b＞a≥0.

，解得

a=0 b=1.

即所求的區(qū)間為[0，1]．
（2）若函數y=k+

x+2

是“同族函數”，
則存在區(qū)間[a，b]，在區(qū)間[a，b]上，函數y=f（x）的值域為[a，b]．
而函數y=k+

x+2

在定義域內單調遞增，
所以

a=k+ a+2 b=k+ b+2 .

，
則a，b是關于x的方程x=k+

x+2

的兩個實數根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0 （x≥-2，x≥k）有兩個不相等的實數根．
記f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
當k≤-2時，有

△＞0 f(-2)≥0 2k+1 2 ＞-2.

解得-

9

4

＜k≤-2．
當k＞-2時，有

△＞0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞k

無解．
綜上所述，實數k的取值范圍是（-

9

4

，-2]．

點評：本題考查了學生對新定義的接受能力及其應用，屬于基礎題．