【題目】已知函數(shù)的定義域是
且
,
,當(dāng)
時(shí),
.
(1)求證:是奇函數(shù);
(2)求在區(qū)間
上的解析式;
(3)是否存在正整數(shù),使得當(dāng)
時(shí),不等式
有解?證明你的結(jié)論.
【答案】(1)證明見解析; (2),
(3)不存在正整數(shù)
滿足題意,證明見解析
【解析】
(1)由已知,得
,進(jìn)而結(jié)合
,可得
,結(jié)合奇函數(shù)的定義,即可得證;
(2)由,
時(shí),
,結(jié)合已知
.結(jié)合(1)中結(jié)論可得所求解析式;
(3)由(2)的結(jié)論及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式的形式,進(jìn)而分析出對(duì)應(yīng)函數(shù)在區(qū)間
,
上的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.
解:(1)證明:由,得
,
由得
,
故是奇函數(shù);
(2)當(dāng),
時(shí),
,
,
而,
;
(,
,
時(shí),
,
,
,
因此,
不等式即為
,
即.
令,對(duì)稱軸為
,
因此函數(shù)在
,
上單調(diào)遞增,
因?yàn)?/span>,又
為正整數(shù),
所以,因此
在
,
上恒成立,
因此不存在正整數(shù)使不等式
有解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)兩點(diǎn).
(1)求的中垂線方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)且與直線
平行的直線
的方程;
(3)一束光線從點(diǎn)射向(2)中的直線
,若反射光線過(guò)點(diǎn)
,求反射光線所在的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形的邊長(zhǎng)為
,
,
與
交于
點(diǎn).將菱形
沿對(duì)角線
折起,得到三棱錐
,點(diǎn)
是棱
的中點(diǎn),
.
(I)求證:平面⊥平面
;
(II)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列中,若
,則下列命題中真命題個(gè)數(shù)是( )
(1)若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,則
;
(2)若,數(shù)列
都是單調(diào)遞增數(shù)列;
(3)若,任取
中的
項(xiàng)
構(gòu)成數(shù)列
的子數(shù)
(
),則
都是單調(diào)數(shù)列.
A.個(gè)B.
個(gè)C.
個(gè)D.
個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車間生產(chǎn)某種電子元件,如果生產(chǎn)出一件正品,可獲利200元,如果生產(chǎn)出一件次品,則損失100元.已知該車間制造電子元件的過(guò)程中,次品率與日產(chǎn)量
的函數(shù)關(guān)系是:
.
(1)寫出該車間的日盈利額(元)與日產(chǎn)量
(件)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為使日盈利額最大,該車間的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)對(duì)于任意的
都有
,給出以下命題:
①在
上是增函數(shù);
②可能存在,使得對(duì)任意的
恒成立;
③可能存在,使得
成立;
④沒(méi)有最大值和最小值.
則正確的命題的個(gè)數(shù)為( ).
A.個(gè)B.
個(gè)C.
個(gè)D.
個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù):
(1)若,求y=f(x)的最大值和最小值,并寫出相應(yīng)的x值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,區(qū)間[a,b](a,b∈R且a<b)滿足:y=g(x)在[a,b]上至少含有20個(gè)零點(diǎn),在所有滿足上述條件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x) 的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;
(3)如果f(x)>g(x) 在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的方程為
,過(guò)點(diǎn)
(
為常數(shù))作拋物線
的兩條切線,切點(diǎn)分別為
,
.
(1)過(guò)焦點(diǎn)且在軸上截距為
的直線
與拋物線
交于
,
兩點(diǎn),
,
兩點(diǎn)在
軸上的射影分別為
,
,且
,求拋物線
的方程;
(2)設(shè)直線,
的斜率分別為
,
.求證:
為定值.
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