已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點分別記為A,B。點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點。

（1）       求橢圓C的方程；

（2）       求線段MN長度的最小值；

（3）       當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于.

試確定點T的個數(shù)。

 

【答案】

  解（1）因為，且，所以

         所以橢圓C的方程為         …………………………………………….3分

  (2 ) 易知橢圓C的左，右頂點坐標為,直線AS的斜率顯然存在，且

         故可設(shè)直線AS的方程為，從而

         由得

         設(shè)，則，得

         從而，即

         又,故直線BS的方程為

         由得，所以

         故

         又，所以

        當且僅當時，即時等號成立

        所以時，線段MN的長度取最小值        ………………………………..9分

（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，

此時AS的方程為，,

     因為點T到直線AS的距離等于，

     所以點T在平行于AS且與AS距離等于的直線上

     設(shè)，則由，解得

①  當時，由得

        由于，故直線與橢圓C有兩個不同交點

       ②時，由得

由于，故直線與橢圓C沒有交點

綜上所求點T的個數(shù)是2.                ……………………………………………..14分

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省揭陽市2007年高中畢業(yè)班第一次高考模擬考試題(理科) 題型：044

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|＝1．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足，()試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省湛江二中高三（上）第一次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年內(nèi)蒙古赤峰市高三統(tǒng)考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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