Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足a_n+S_n=2n（n∈N^*），記b_n=2-a_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n；
（2）求b₁（B_n-b₁）+b₂（B_n-b₂）+b_n-1（B_n-b_n-1）（n≥2）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a_n+S_n=2n⇒a_n-1+S_n-1=2（n-1）（n≥2）；兩式相減后，整理可得2（a_n-2）=（a_n-1-2），又b_n=2-a_n，利用等比數(shù)列的定義可證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，繼而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n；
（2）依題意，可得原式=B_n（b₁+b₂+b₃+…b_n-1）-（b₁²+b₂²+…+b_n-1²），利用等比數(shù)列的求和公式即可得到答案．

解答： （1）證明：∵a_n+S_n=2n（n∈N^*），
∴a_n-1+S_n-1=2（n-1）（n≥2）；
上兩式相減；
得2a_n-a_n-1=2，
則2（a_n-2）=（a_n-1-2），又b_n=2-a_n．
∴-2b_n=-b_n-1，即

bn

bn-1

=

1

2

（n≥2）；
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
又S₁=a₁，得2a₁=2×1=2，∴a₁=1；
∴b₁=2-a₁=1，
∴b_n=（

1

2

）^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-（

1

2

）^n-1；
（2）∵B_n=2-（

1

2

）^n-1，b_n-1=（

1

2

）^n-2，
∴原式=B_n（b₁+b₂+b₃+…b_n-1）-（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）
=[2-（

1

2

）^n-1][2-（

1

2

）^n-2]-

1-( 1 4 )n-1

1- 1 4

=

8

3

-3×（

1

2

）^n-2-

1

3

×（

1

2

）2^n-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比關(guān)系的確定及數(shù)列的求和，求得列{b_n}的通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，（2）中原式=B_n（b₁+b₂+b₃+…b_n-1）-（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）是關(guān)鍵，考化歸思想與運(yùn)算能力，屬于難題．