Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，求證：
（1）BD₁⊥平面AB₁C；
（2）點(diǎn)B到平面ACB₁的距離為BD₁長(zhǎng)度的

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證明

BD1

⊥

AB1

，

BD1

⊥

AC

即可，只要求出這幾個(gè)向量的坐標(biāo)，容易求得

BD1

•

AB1

=0，

BD1

•

AC

=0，從而證出BD₁⊥平面AB₁C．
（2）若能求出BD₁和平面ACB₁的交點(diǎn)，然后求交點(diǎn)和B點(diǎn)的距離，看它和BD₁長(zhǎng)度的比值即可．求交點(diǎn)坐標(biāo)可通過(guò)E在BD₁上，所以存在實(shí)數(shù)λ使

BE

=λ

BD1

；E點(diǎn)在平面AB₁C上，所以存在實(shí)數(shù)λ₁，μ₁使：

AE

=λ1

AB1

+μ1

AC

，帶入坐標(biāo)即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而完成本問(wèn)的證明．

解答： 證：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則確定一下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，1），B（1，1，0），D₁（0，0，1）；
∴

AB1

=(0，1，1)，

AC

=(-1，1，0)，

BD1

=(-1，-1，1）；
∴

BD1

•

AB1

=0，

BD1

•

AC

=0；
∴BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，AB₁∩AC=A；
∴BD₁⊥平面AB₁C．
（2）設(shè)BD₁交平面ACB₁于E，設(shè)E（x₀，y₀，z₀）則存在λ使：

BE

=λ

BD1

；存在λ₁，μ₁使：

AE

=λ1

AB1

+μ1

AC

，
帶入坐標(biāo)可分別得：

x0-1=-λ y0-1=-λ z0=λ

和

x0-1=-μ1 y0=λ1+μ1 z0=λ1

；
分別解得：

x0=y0 z0=1-y0

和y₀=z₀-x₀+1；
∴解得：x0=

2

3

，y0=

2

3

，z0=

1

3

，∴E（

2

3

，

2

3

，

1

3

）；
∴|BE|=

3

3

，|BD1|=

3

；
∴點(diǎn)B到平面ACB₁的距離為BD₁長(zhǎng)度的

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查建立空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題，求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，求空間向量的坐標(biāo)，向量相互垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為0，共線向量基本定理，共面向量基本定理，空間兩點(diǎn)的距離，建立空間直角坐標(biāo)系是證明本題的關(guān)鍵．