Question

?x∈[0，

3

4

π]，sinx-cosx-ax+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全稱(chēng)命題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：設(shè)g（x）=sinx+1-ax-cosx，求g′（x），討論函數(shù)在區(qū)間[0，

3π

4

]上的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求g（x）的最小值，根據(jù)最小值大于等于0確定a的范圍．

解答： 解：設(shè)g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，

3π

4

]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[0，

2

]．
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）≥0在[0，

3π

4

]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，故a≤0；
當(dāng)a≥

2

時(shí)，g′（x）≤0在[0，

3π

4

]上恒成立，
∴g（x）≥g（

3π

4

）=

2

+1-

3π

4

a≥0，得a≤

4+4 2

3π

，無(wú)解．
當(dāng)0＜a＜

2

時(shí)，則存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）時(shí)，g（x）是增函數(shù)，x∈（x₀，

3π

4

]時(shí)，g（x）是減函數(shù)，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（

3π

4

），
∴

g(0)≥0 g( 3π 4 )≥0

⇒0＜a≤

4+4 2

3π

，
綜上所述：a≤

4+4 2

3π

．

點(diǎn)評(píng)：本題借助全稱(chēng)命題考查了三角函數(shù)的最值的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的解法，利用導(dǎo)函數(shù)分類(lèi)求得不等式恒成立的條件是解答本題的關(guān)鍵．