【題目】已知,
為橢圓E:
的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)
的直線l與橢圓E有且只有一個(gè)交點(diǎn)T.
(1)求面積的取值范圍.
(2)若有一束光線從點(diǎn)射出,射在直線l上的T點(diǎn)上,經(jīng)過直線l反射后,試問反射光線是否恒過定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出該定點(diǎn);若否,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)是,定點(diǎn)
【解析】
(1)由題意設(shè)直線l的方程為:,將
代入
,得
,由
,解得
,由韋達(dá)定理得切點(diǎn)T的
,
的面積
,根據(jù)m的范圍即可求出;
(2)由對(duì)稱性和(1)得,不妨取切點(diǎn),則直線l:
,設(shè)
關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為
,經(jīng)計(jì)算得
,
,直線
恒過定點(diǎn)
,即可得答案.
(1),∴直線l的斜率存在且不為0,故設(shè)直線l的方程為l:
,
將代入
,得
,
因?yàn)橹本€l與橢圓E有且只有一個(gè)交點(diǎn)T,所以,解得
,
此時(shí)求得,由
,得
,
,所以切點(diǎn)T的坐標(biāo)為
,又
,
,
所以的面積
,又
,
,
.
(2)由對(duì)稱性和(1)得,不妨取切點(diǎn),則直線l:
,設(shè)
關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為
,
則,
,
.
,
,
故直線的斜率為
,
所以直線的方程為
,即
恒過定點(diǎn)
,
所以光線被直線l反射后恒過定點(diǎn)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知梯形中,
,
,
,四邊形
為矩形,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn)
,使得直線
與平面
所成角的正弦值為
,若存在,求出線段
的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓
:
的左、右焦點(diǎn)分別為
,
.過焦點(diǎn)且垂直于
軸的直線與橢圓
相交所得的弦長為3,直線
與橢圓
相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線:
與橢圓
相交于
兩點(diǎn),使得
?若存在,求
的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由!
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足
,且
為偶函數(shù),若
在
內(nèi)單調(diào)遞減,則下面結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過點(diǎn)
,傾斜角為
,在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
的方程為
.
(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
相交于
兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿波羅尼斯(約公元前年)證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)
的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)
、
間的距離為
,動(dòng)點(diǎn)
滿足
,則
的最小值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高中生在被問及“家,朋友聚集的地方,個(gè)人空間”三個(gè)場(chǎng)所中“感到最幸福的場(chǎng)所在哪里?”這個(gè)問題時(shí),從洛陽的高中生中,隨機(jī)抽取了55人,從上海的高中生中隨機(jī)抽取了45人進(jìn)行答題.洛陽高中生答題情況是:選擇家的占、選擇朋友聚集的地方的占
、選擇個(gè)人空間的占
.上海高中生答題情況是:選擇朋友聚集的地方的占
、選擇家的占
、選擇個(gè)人空間的占
.
(1)請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果將下面列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否有
的把握認(rèn)為“戀家(在家里感到最幸福)”與城市有關(guān):
在家里最幸福 | 在其它場(chǎng)所最幸福 | 合計(jì) | |
洛陽高中生 | |||
上海高中生 | |||
合計(jì) |
(2) 從被調(diào)查的不“戀家”的上海學(xué)生中,用分層抽樣的方法選出4人接受進(jìn)一步調(diào)查,從被選出的4 人中隨機(jī)抽取2人到洛陽交流學(xué)習(xí),求這2人中含有在“個(gè)人空間”感到幸福的學(xué)生的概率.
附:,其中
d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽魚.太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化,相對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義:能夠?qū)A的周長和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓
的一個(gè)“太極函數(shù)”.現(xiàn)有下列說法:①對(duì)于圓
:
的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中,一定不能為偶函數(shù);②函數(shù)
是圓
:
的一個(gè)太極函數(shù);③存在圓
,使得
是圓
的一個(gè)太極函數(shù);④直線
所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓
:
(
)的太極函數(shù);⑤若函數(shù)
(
)是圓
:
的太極函數(shù),則
.其中正確的是__________.
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