Question

已知直線l：y=kx-2，M（-2，0），N（-1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足

|QM|

|QN|

=

2

，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l與圓O：x²+y²=2交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AOB=

π

2

時(shí)，求k的值；
（3）若k=

1

2

，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)點(diǎn)Q（x，y），依題意知

|QM|

|QN|

=

(x+2)2+y2

(x+1)2+y2

=

2

，整理得曲線C的方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)O到l的距離d=

2

2

r，可求k的值；
（3）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，C、D在圓O：x²+y²=2上可得直線C，D的方程，即可求得直線CD是否過定點(diǎn)．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)Q（x，y），依題意知

|QM|

|QN|

=

(x+2)2+y2

(x+1)2+y2

=

2

…（2分）
整理得x²+y²=2，∴曲線C的方程為x²+y²=2…（4分）
（2）∵點(diǎn)O為圓心，∠AOB=

π

2

，∴點(diǎn)O到l的距離d=

2

2

r…（6分）
∴

2

k2+1

=

2

2

•

2

⇒k=±

3

…（8分）
（3）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，…（9分）
設(shè)P(t，

1

2

t-2)，則圓心(

t

2

，

t

4

-1)，半徑

t2 4 +( t 4 -1)2

得(x-

t

2

)2+(y-

t

4

+1)2=

t2

4

+(

t

4

-1)2）
即x2-tx+y2-(

1

2

t-2)y=0
又C、D在圓O：x²+y²=2上
∴lCD：tx+(

1

2

t-2)y-2=0即  (x+

y

2

)t-2y-2=0…（12分）
由

x+ y 2 =0 2y+2=0

得 

x= 1 2 y=-1

∴直線CD過定點(diǎn)(

1

2

，-1)…（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．