Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為1的菱形．側(cè)面PAD是正三角形，其所在側(cè)面垂直底面ABCD，G是AD中點．
（1）求異面直線BG與PC所成的角；
（2）求點G到面PBC的距離；
（3）若E是BC邊上的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先通過△PAD為正三角形，G為AD中點，得到PG⊥AD；進(jìn)而得到PG⊥面ABCD以及PG⊥GB；再通過∠DAB=60°，四邊形ABCD為菱形得到BG⊥AD就可以建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz；寧求出個點坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量BG與PC的坐標(biāo)，最后代入向量的夾角計算公式即可求出結(jié)論．
（2）先求出面PBC的一個法向量的坐標(biāo)，再結(jié)合點到面的距離計算公式即可求出結(jié)論；
（3）先假設(shè)其存在F分的比為λ；根據(jù)∠DAB=60°，得到BD=DC，進(jìn)而得到BC⊥DE，BC⊥面DEF，從而有BC⊥EF，通過其數(shù)量積為0即可求出λ得到結(jié)論即可．
解答：解：（1）∵△PAD為正三角形，G為AD中點，
∴PG⊥AD
又PG⊆面PAD，面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
∴PG⊥面ABCD，又GB?面ABCD
∴PG⊥GB
又∵∠DAB=60°，四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BD
∴BG⊥AD
以G為原點，GB所在直線為x軸，GD所在直線為y軸，GP所在直線為z軸，
建立（如圖所示）空間直角坐標(biāo)系G-xyz，則G（0，0，0），，，
∵
∴GB與PC所成角θ的余弦值為：
∴

（2）設(shè)面PBC的一個法向量為
由和得
∴G到面PBC的距離
（3）設(shè)存在F點，使面DEF⊥面ABCD，且F分的比為λ
則
∵∠DAB=60°，∴BD=DC，又∵E為BC中點，∴BC⊥DE
由BC?面ABCD，面DEF∩面ABCD=DE知
BC⊥面DEF
∴BC⊥EF
∴
即，∴λ=1
∴F為PC中點
點評：本題主要考察空間中點到面的距離以及異面直線所成的角．解決本題的關(guān)鍵在于先通過△PAD為正三角形，G為AD中點，得到PG⊥AD；進(jìn)而得到PG⊥面ABCD以及PG⊥GB；再通過∠DAB=60°，四邊形ABCD為菱形得到BG⊥AD，從而建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，用空間向量知識求解．