Question

 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

(Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角

 

Answer 1

【答案】

（I）見(jiàn)解析.（II）.

【解析】本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力．

（I）欲證PB⊥DM，可先證PB⊥平面ADMN，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PB與平面ADMN內(nèi)兩相交直線垂直，而AN⊥PB，AD⊥PB，滿足定理?xiàng)l件；

（II）取AD的中點(diǎn)G，連接BG、NG，得到 BG∥CD，從而B(niǎo)G與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等，根據(jù)線面所成角的定義可知∠BGN是BG與平面ADMN所成的角，在Rt△BGN中求出此角的正弦值即可．

解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091820502789615732/SYS201209182051172807348239_DA.files/image002.png">是的中點(diǎn)，，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091820502789615732/SYS201209182051172807348239_DA.files/image006.png">平面，所以，從而平面.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091820502789615732/SYS201209182051172807348239_DA.files/image011.png">平面，所以.

（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，

所以與平面所成的角和與平面所成的角相等.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091820502789615732/SYS201209182051172807348239_DA.files/image009.png">平面，所以是與平面所成的角.

在中，.

故與平面所成的角是.