Question

在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進(jìn)4個球且最后2個球都投進(jìn)者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲投進(jìn)每個球的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）記教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率；
（Ⅲ）已知教師乙在某場比賽中，6個球中恰好投進(jìn)了4個球，求教師乙在這場比賽中獲獎的概率；教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率相等嗎？

Answer 1

分析：（Ⅰ）教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個數(shù)為X，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6由題意直接可知X～B（6，

2

3

）即可求解
（Ⅱ）教師甲在一場比賽中獲獎：分為三種情況（中4球，5球，6球）但都必須最后2個球都投進(jìn)者，故所求的概率為

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)4+

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)5+(

2

3

)6=

32

81

．
（Ⅲ）教師乙在某場比賽中的事件總數(shù)為：A₆6，而6個球中恰好投進(jìn)了4個球的事件數(shù)為：A₄2×A₄4，故而教師乙在這場比賽中獲獎的概率為：

A42×A4 4

A66

  根據(jù)（Ⅱ）知教師甲在一場比賽中獲獎的概率為：

32

81

，而

32

81

≠

A42×A4 4

A66

，故教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率不相等．

解答：解：（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6．
依條件可知X～B（6，

2

3

）.P(X=k)=

C

k 6

•(

2

3

)k•(

1

3

)6-k（k=0，1，2，3，4，5，6）
X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	1 729	12 729	60 729	160 729	240 729	192 729	64 729

所以EX=

1

729

(0×1+1×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64)=

2916

729

=4．
或因為X～B（6，

2

3

），所以EX=6×

2

3

=4．即X的數(shù)學(xué)期望為4
（Ⅱ）設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，
則P(A)=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)4+

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)5+(

2

3

)6=

32

81

．
答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為

32

81

．
（Ⅲ）設(shè)教師乙在這場比賽中獲獎為事件B，
則P(B)=

A 2 4 A 4 4

A 6 6

=

2

5

．
即教師乙在這場比賽中獲獎的概率為

2

5

．
顯然

2

5

=

32

80

≠

32

81

，所以教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率不相等．

點評：本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列屬于基礎(chǔ)題．