Question

1．（1）已知a＞0，b＞0，$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$＞1．求證：$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$．
（2）已知a，b，c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1．求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用分析法即可證明，
（2）利用反證法即可證明

解答 證明：（1）要證$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立，
只需證1+a＞$\frac{1}{1-b}$，
只需證（1+a）（1-b）＞1（1-b＞0），即1-b+a-ab＞1，
∴a-b＞ab，只需證：$\frac{a-b}{ab}$＞1，即$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$＞1．
由已知a＞0，$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$＞1成立，∴$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立．
（2）假設(shè)a，b，c，d都是非負數(shù)，
∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1．
又∵（a+b）（c+d）=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，
∴ac+bd≤1．這與已知ac+bd＞1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．

點評 本題考查不等式的證明，考查分析法、反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．