Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長為

2

，底面是邊長為1的等邊三角形，∠A₁AB=∠A₁AC=45°，E、F分別是BC、A₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求此棱柱的表面積和體積；
（Ⅱ）求異面直線AA₁與EF所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）過A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足為H，證明H在∠CAB平分線上，根據(jù)AB=AC，可得BC⊥AA₁，判斷各側(cè)面的形狀，根據(jù)∠A₁AB=∠A₁AC=45°計(jì)算棱柱的高，利用面積公式與棱柱的體積公式計(jì)算；
（II）利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算異面直線AA₁與EF所成角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）過A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足為H，過H作HD⊥AB于D，連A₁D，則A₁D⊥AB，
作HF⊥AC于F，連A₁F，則A₁F⊥AC，
又∠A₁AB=∠A₁AC=45°，∴Rt△A₁AD≌Rt△A₁AF，AD=AF，
∴Rt△ADH≌Rt△AFH，從而H在∠CAB平分線上，
∵△ABC為正三角形，∴BC⊥AH，∴BC⊥AA₁，

在Rt△A₁AD中，計(jì)算得A₁D=AD=1，在Rt△ADH中，計(jì)算得DH=

3

3

，在Rt△A₁DH中，計(jì)算得A1H=

6

3

，
∴棱柱的表面積S=2S△ABC+2SABB1A1+SBCC1B1=

3

2

+2+

2

，
棱柱的體積V=S△ABC．A1H=

3

4

•

6

3

=

2

4

；
（Ⅱ）∵

EF

=

EA

+

AF

=-

1

2

(

AB

+

AC)

+AA1+

1

2

AC

=

AA1

-

1

2

AB

，
∴

EF

2=

A1A

2+

1

4

AB

2-

AA1

•

AB

=2+

1

4

-

2

×1×

2

2

=

5

4

，
解得|

.

EF

|=

5

2

，
又

EF

•

AA1

=(

AA1

-

1

2

AB

)•

AA1

=2-

1

2

×1×

2

×

2

2

=

3

2

，
∴cosθ=

EF • AA1

| EF| •| AA1 |

=

3 10

10

，
即異面直線AA₁與EF所成角的余弦值

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的面積與體積計(jì)算，考查了異面直線所成角的求法及向量的應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算要細(xì)心．