Question

函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，函數(shù)的解析式為．
（1）求f（-1）的值；
（2）求當x＜0時，函數(shù)的解析式；
（3）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，所以，
又f（x）為奇函數(shù)，所以上式即-，
所以f（x）=；
（3）設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個任意實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）==2（）．
因為x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以2（）＞0，則f（x₁）＞f（x₂）
因此．是（0，+∞）上的減函數(shù)．
分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性，把f（-1）轉(zhuǎn)化成-f（1），利用函數(shù)的解析式，把x=1代入進而求得答案．
（2）設(shè)x＜0，把-x代入函數(shù)的解析式，進而利用函數(shù)的奇偶性整理求得函數(shù)在（-∞，0）上的解析式．
（3）設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個任意實數(shù)，且x₁＜x₂，通過比較f（x₁）和f（x₂）的大小來確定函數(shù)的在（0，+∞）上的單調(diào)性．
點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用．在解決分段函數(shù)的問題時，一定要注意函數(shù)的定義域．