Question

【題目】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinBbcosA+a＝bcosC+ccosB．

（1）求A；

（2）若a，點D在BC上，且AD⊥AC，當△ABC的周長取得最大值時，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）利用正弦定理邊化角后化簡可得，進而求得，即可得解；

（2）利用余弦定理可得3=(b+c)2bc，進而利用基本不等式可知b+c≤2，由此得出此時△ABC的周長取得最大值，，進而求得BD的長，即可得解.

（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，

∴，

又A∈(0，π)，∴；

（2）由（1）及，知3=b2+c2+bc，

∴3=(b+c)2bc，從而，

∴b+c≤2，當且僅當b=c=1時取等號，即△ABC的周長取得最大值，此時，

∵AD⊥AC，∴，

又b=1，∴，

∴．