Question

在區(qū)間[-a，a]（a＞0）內(nèi)圖象不間斷的函數(shù)f（x）滿足f（-x）-f（x）=0，函數(shù)g（x）=e^x•f（x），且g（0）•g（a）＜0，又當(dāng)0＜x＜a時(shí)，有f′（x）+f（x）＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（-x）-f（x）=0，∴f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數(shù)，
∵g（x）=e^x•f（x），
∴g′（x）=e^x•[f′（x）+f（x）]＞0，
∴g（x）在[0，a]上單調(diào)遞增，
∵g（0）•g（a）＜0，
∴g（x）在[0，a]上只有一個(gè)零點(diǎn)，
∵e^x＞0，∴f（x）在[0，a]上只有一個(gè)零點(diǎn)，
∵f（x）是偶函數(shù)，且f（0）≠0，
∴f（x）在區(qū)間[-a，a]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故答案為：2

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．