已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,且a≠0),且函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,其圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0,
數(shù)學(xué)公式
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若數(shù)學(xué)公式在[0,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若數(shù)列{an}滿足an+1=g(an),a1=2,(n∈N*),
試證明:數(shù)學(xué)公式

解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以b=d=0,所以f(x)=ax3+cx,
又有f′(x)=3ax2+c,又函數(shù)f(x)在x=3處的切線方程為8x-y-18=0,
所以f′(3)=3a×9+c=8,f(3)=27a+3c=6,
所以

(2)在[0,2]上恒成立,即,
即證在[0,2]上恒成立,
,則h′(x)=x2-3x+2,令h′(x)=x2-3x+2=0,
則x1=1,x2=2
則有當(dāng)x<1時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)遞增;
當(dāng)1<x<3時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(1,3)遞減;
當(dāng)x>3時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)遞增;
所以,
所以函數(shù)h(x)在[0,2]的最小值為0,所以有0>a2+a,即-1<a<0

(3),由an+1=g(an),a1=2,
所以an+1=an2+1>an2>0,
所以lnan+1>2lnan>22lnan-1>>2n-1ln2,
所以,則有,
所以(14分)
分析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c,函數(shù)f(x)在x=3處的切線方程為8x-y-18=0,所以f(3)=27a+3c=6,由此導(dǎo)出
(2)在[0,2]上恒成立,令,則h′(x)=x2-3x+2,令h′(x)=x2-3x+2=0,則x1=1,x2=2,再由函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出函數(shù)h(x)在[0,2]的最小值為0,所以有0>a2+a,即-1<a<0.
(3),由an+1=g(an),a1=2,所以,則有,從而證明
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的靈活運(yùn)用.
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