Question

已知點(diǎn)P（x₁，y₁）是函數(shù)f（x）=2x上一點(diǎn)，點(diǎn)Q（x₂，y₂）是函數(shù)g（x）=2lnx上一點(diǎn)，若存在x₁，x₂使得|PQ|≤

2 5

5

成立，則x₁的值為（　　）

• A、

  1

  5

• B、

  2

  5

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：直線與圓

分析：由點(diǎn)P在直線l上，知P、Q兩點(diǎn)間距離最近等價(jià)于函數(shù)g（x）=2lnx的圖象在點(diǎn)Q（x₂，y₂）處的切線的斜率為2，且過P、Q點(diǎn)的直線與直線l垂直，計(jì)算即可．

解答： 解：根據(jù)題意可知，當(dāng)|PQ|=

2 5

5

成立時(shí)，
函數(shù)g（x）=2lnx的圖象在點(diǎn)Q（x₂，y₂）處的切線與函數(shù)f（x）=2x的圖象平行，
故函數(shù)g（x）=2lnx的圖象在點(diǎn)Q（x₂，y₂）處的切線的斜率與函數(shù)f（x）=2x的圖象的斜率相等，
又因?yàn)?span id="10kcprz" class="MathJye">g′(x)=

2

x

，所以

2

x2

=2，
即x₂=1，從而y₂=0，
則當(dāng)|PQ|=

2 5

5

成立時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（1，0）．
則過Q點(diǎn)、P點(diǎn)的直線與函數(shù)f（x）=2x的圖象垂直．
又P點(diǎn)坐標(biāo)可寫成P（x₁，2x₁），
故有

2x1-0

x1-1

=-

1

2

解得x1=

1

5

．
故答案為：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間距離，充分利用了圖象上的點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)為過這點(diǎn)的切線與該直線平行這一特性．