Question

如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：AE⊥PD；

(Ⅱ)若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

標(biāo)準(zhǔn)答案： 　　(Ⅰ)證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image262.gif" width=16 HEIGHT=17>為的中點(diǎn)，所以． 　　又，因此． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image267.gif" width=38 height=17>平面，平面，所以． 　　而平面，平面且， 　　所以平面．又平面， 　　所以． 　　(Ⅱ)解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接． 　　由(Ⅰ)知平面， 　　則為與平面所成的角． 　　在中，， 　　所以當(dāng)最短時，最大， 　　即當(dāng)時，最大． 　　此時， 　　因此．又，所以， 　　所以． 　　解法一：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image303.gif" width=38 height=17>平面，平面， 　　所以平面平面． 　　過作于，則平面， 　　過作于，連接，則為二面角的平面角， 　　在中，，， 　　又是的中點(diǎn)，在中，， 　　又， 　　在中，， 　　即所求二面角的余弦值為． 　　解法二：由(Ⅰ)知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以 　　， 　　， 　　所以． 　　設(shè)平面的一法向量為， 　　則　因此 　　取，則， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image345.gif" width=68 HEIGHT=18>，，， 　　所以平面， 　　故為平面的一法向量． 　　又， 　　所以． 　　因?yàn)槎娼?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image354.gif" width=77 height=18>為銳角， 　　所以所求二面角的余弦值為． 　　試題分析：確定點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，當(dāng)時，最大．求二面角時可以利用二面角的概念正確作出平面角進(jìn)行論證求解，也可以利用向量方法將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”．為了便于計算可設(shè)菱形邊長為2． 　　高考考點(diǎn)：垂直關(guān)系的證明與二面角的求解．

提示：

底面是菱形提供了垂直關(guān)系的相關(guān)信息，這一點(diǎn)還是比較明顯的，但也有一些幾何體的底面在發(fā)掘有用信息方面就很困難，尤其建立空間坐標(biāo)系時找不到“落腳”的地方，底面上一些點(diǎn)的坐標(biāo)難以迅速求得．另外從探索解題思路的策略上來看，垂直往往是關(guān)鍵的“題眼”，需要我們將其放在優(yōu)先考慮的地位 　　1)面對多個條件，不妨優(yōu)先選擇使用垂直的條件； 　　2)構(gòu)造輔助線，不妨優(yōu)先作出垂直的輔助線(或面)； 　　3)對于位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，不妨優(yōu)先使用垂直關(guān)系來轉(zhuǎn)化．