已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個項點到兩個焦點的距離分別是9和1
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓C上一點P到兩焦點的距離之積為m,求當(dāng)m取最大值時,P點的坐標(biāo).
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),焦距為2c,利用項點到兩個焦點的距離分別是9和1,求出a,c,可得b,即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由橢圓的定義,可得|PF1|+|PF2|=2a=10,利用基本不等式,即可得出結(jié)論.
解答: 解:(1)由題意設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),焦距為2c.
a+c=9
a-c=1
,解得
a=5
c=4

∴b=
a2-c2
=3
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
25
+
y2
9
=1
(2)|PF1|+|PF2|=2a=10,
∴|PF1|•|PF2|≤(
|PF1|+|PF2|
2
2=25.
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=5時,取得最大值,此時P點是短軸端點,
點評:本題考查橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓的定義,考查基本不等式的運用,確定橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知i是虛數(shù)單位,若(m+i)2=3-4i,則實數(shù)m的值為( �。�
A、-2
B、±2
C、±
2
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解二元一次方程組:
n-3r=0
2r
C
r
n
=60

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某圓錐曲線有下列信息:
①曲線是軸對稱圖形,且兩坐標(biāo)軸都是對稱軸;
②焦點在x軸上且焦點到坐標(biāo)原點的距離為1;
③曲線與坐標(biāo)軸的交點不是兩個;
④曲線過點A(1,
3
2
).
(1)判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程;
(2)點F是改圓錐曲線的焦點,點F′是F關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點,點P為曲線上的動點,探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q,且2
F1F2
+
F2Q
=
0

(1)求橢圓C的離心率; 
(2)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線l:x-
3
y-3=0相切,求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P(x0,y0)是橢圓C:
x2
5
+y2=1
上的一點.F1、F2是橢圓C的左右焦點.
(1)若∠F1PF2是鈍角,求點P橫坐標(biāo)x0的取值范圍;
(2)求代數(shù)式
y
2
0
+2x0
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實數(shù)x、y滿足約束條件
y≤1
x+y≥0
x-y-2≤0

(1)求目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值;
(2)求目標(biāo)函數(shù)z=
y+2
x+2
的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若不等式|x-4|+|x+4|≤m的解集為空集,則實數(shù)m的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓4x2+y2=1與直線y=x+m有公共點,則實數(shù)m的取值范圍為
 

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