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如圖；.已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設圓T與橢圓C交于點M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與軸交于點R，S，O為坐標原點. 試問；是否存在使最大的點P，若存在求出P點的坐標，若不存在說明理由.

（1）；（2）；（3）存在

解析試題分析：（1）橢圓C:的離心率為
由橢圓的左頂點為，所以可得橢圓的標準方程；
（2）點M與點N關于軸對稱，設，
 ，再根據的取值范圍求出的范圍.
（3）假設存在點使取最大值，因為
=
利用點分別是直線 與軸的交點，把表示成的函數，進而求出其取最大值的值，確定點的坐標.
試題解析：
解：（1）由題意知解之得； ，由得b=1，

故橢圓C方程為；.3分
（2）點M與點N關于軸對稱，設, 不妨 設, 由于點M在橢圓C上，,
由已知 
,..6分由于故當時，取得最小值為,
當時，故又點M在圓T上，代入圓的方程得,故圓T的方程為：；..8分
（3）假設存在滿足條件的點P,設，則直線MP的方程為：
令，得，同理,
故;..10分
又點M與點P在橢圓上，故,
得,
為定值,.12分
===,
由P為橢圓上的一點,要使最大，只要最大，而的最大值為1,故滿足條件的P點存在其坐標為．..14分
考點：1、橢圓的標準方程和圓的標準方程；2、直線與橢圓的位置關系；3、向量的數量積.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同交點，求實數的取值范圍；
(3)設(2)中直線與雙曲線交于兩個不同點，若以線段為直徑的圓經過坐標原點，求實數的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

知橢圓的兩焦點、，離心率為，直線：與橢圓交于兩點，點在軸上的射影為點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求直線的方程，使的面積最大，并求出這個最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；
（2）點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設雙曲線C：（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓C0：＝1(a>b>0，a、b為常數)，動圓C1：x2＋y2＝，b<t1<a.點A1、A2分別為C0的左、右頂點，C1與C0相交于A、B、C、D四點．

(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
(2)設動圓C2：x2＋y2＝與C0相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知曲線C上動點P(x，y)到定點F1(，0)與定直線l1∶x＝的距離之比為常數.
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，設圓T與曲線C交于點M與點N，求·的最小值，并求此時圓T的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的方程為＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個頂點．

(1)設P是橢圓C上任意一點，若＝m＋n，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，正方形ABCD內接于橢圓＝1(a＞b＞0)，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形MNPQ的頂點M、N在橢圓上，頂點P、Q在正方形的邊AB上，且A、M都在第一象限．
 
(1)若正方形ABCD的邊長為4，且與y軸交于E、F兩點，正方形MNPQ的邊長為2.
①求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；
②求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e2－k是定值．

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