Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，滿足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（I）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求出通項公式；
（II）設(shè)b_n=（1-）²-a（1-），若b_n+1＞b_n對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：法一：
（Ⅰ）由S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，知S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，兩式相減，得=a_n（S_n+S_n-1），由a_n＞0，知（n≥2），故，兩式相減，得=a_n+a_n-1，由此能夠證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，通項公式為a_n=n．
（Ⅱ）=，令，則，設(shè)g（t）=t²+（a-2）t+1-a，當(dāng)a＜時，g（t）在（0，]上為減函數(shù)，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ），故，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：法一：
（Ⅰ）∵S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，
∴S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，
兩式相減，得=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1），
∵a_n＞0，∴（n≥2），
∴，
兩式相減，得=a_n+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=1（n＞3），
∵，且a₁＞0，∴a₁=1，
，
∴（1+a₂）²=1+，∴，
由a₂＞0，得a₂=2，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，通項公式為a_n=n．
（Ⅱ）=，
令，則，
設(shè)g（t）=t²+（a-2）t+1-a，
當(dāng)時，即a＜時，g（t）在（0，]上為減函數(shù)，
且，∴b₁＜b₂＜b₃＜…
當(dāng)時，即時，，從而b₂≤b₁不合題意，
∴實數(shù)a的取值范圍．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ），
∴，
即對任意n∈N^*成立，
∴實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查等差數(shù)列的證明和通項公式的求法，考查實數(shù)取值范圍的求法．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．