Question

過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)F（-c，0）且斜率為-

3

4

的直線l與兩條準(zhǔn)線交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，且
點(diǎn)（3，2）在雙曲線上，求此雙曲線方程．

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由點(diǎn)（3，2）在雙曲線上，知

9

a2

-

4

b2

=1由直線方程：y=-

4

3

（x+c）及準(zhǔn)線方程知5a²=3c²，解得a²=3，b²=2，由此能求出雙曲線方程．

解答：解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵點(diǎn)（3，2）在雙曲線上，
∴

9

a2

-

4

b2

=1，①
∵以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，
∴那條直線與y軸的交點(diǎn)D（即MN的中點(diǎn)）為圓心，
∴|OD|=|MD|=|DN|，
由直線方程：y=-

3

4

（x+c）及準(zhǔn)線方程知：

3

4

c=

1+( 3 4 )2

•

a2

c

，
∴5a²=3c²，②
聯(lián)立①②，解得a²=3，b²=2，
∴雙曲線方程為

x2

3

-

y2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，靈活運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．