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如圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，且使兩個三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6．

(1)求證：平面ABD⊥平面ACD；

(2)求二面角A－CD－B的平面角的正切值；

(3)設過直線AD且與BC平行的平面為a，求點B到平面a的距離．

答案：
解析：

　　(1)平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC，

　　∴BD⊥平面ABC，∵AC平面ABC，∴AC⊥BD，

　　又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD，

　　又AC平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD(4分)

　　(2)設BC中點為E，連AE，過E作EF⊥CD于F，連AF．

　　由三垂線定理得∠EFA為二面角的平面角．

　　由△EFC∽△DBC可求得EF＝1.5，

　　又AE＝3，所以tan∠EFA＝2，即二面角的平面角的正切值為2(8分)

　　(3)過點D作DG∥BC，且CB＝DG，連AG．設平面ADG為平面．

　　∵BC∥平面ADG，所以B到平面ADG的距離與C到平面ADG的距離，設為h，

　　∵VC－ADG＝VA－CBD，

　　，

　　∴h＝(12分)


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，將一副三角板拼成直二面角A-BC-D，其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求證：平面BAD⊥平面CAD；  
（2）求BD與平面CAD所成的角；
（3）若CD=2，求C到平面BAD的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

一副三角板拼成一個四邊形ABCD，如圖，然后將它沿BC折成直二面角.

(1)求證: 平面ABD⊥平面ACD；

(2)求AD與BC所成的角；

(3)求二面角A—BD—C的大小. 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省江南十校高三素質教育聯考理科數學試卷（解析版） 題型：填空題

如圖是一副直角三角板.現將兩三角板拼成直二面角，得到四面體ABCD,則下列敘述正確的是. _________

①；②平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直;③異面直線BC與AD所成的角為60%④四面體有外接球；⑤直線DC與平面ABC所成的角為300

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

將一副三角板如圖(1)拼好,其中AB=AC=2a,∠BAC=∠BCD=90°,∠CBD=30°.若將ABC沿BC折起,使二面角A-BC-D為直二面角,如圖(2).

(1)求證:AB⊥平面ACD;

(2)求二面角ABDC的大小;

(3)求點C到平面ABD的距離.

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