Question

（滿分14分）已知圓O：，直線.

（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB=時，求k的值.

（2）若，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，探究：直線CD是否過定點；

（3）若EF、GH為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值。

 

Answer 1

（1）；（2）直線CD過定點；（3）最大值為.

【解析】

試題分析：（1）依題意圓O的半徑=，點O到的距離，即 =·，所以；（2）由題意O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設，則得，即，而C、D在圓O：上，所以CD方程為，整理得，由得，故直線CD過定點 ；（3）設圓心到EF、GH的距離分別為，則 ， 而， ，，

故， 當且僅當 即 時，取“=”.

試題解析：（1）點O到的距離 2（分）

∴ =· （4分）

（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設

其方程為：

即：

又C、D在圓O：上

∴ 即 （7分）

由 得

∴直線CD過定點 （9分）

（3）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為.

則 （11分）

∴

∴

當且僅當 即 時，取“=”

∴四邊形EGFH的面積的最大值為 （14分）

考點：直線與圓的位置關系綜合問題