Question

 已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）對(duì)任意的恒有成立，求m的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）時(shí)，有極小值為，無極大值                                                                  

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為. 

（Ⅲ） .                                

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的 運(yùn)用。

（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，求解得到，然后分析定義域和導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，解不等式得到單調(diào)性，確定得到極值；

（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，求的導(dǎo)函數(shù)為，然后分析參數(shù)a的分類討論思想得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。

（3）要使對(duì)任意的恒有成立，只要求解函數(shù)的最大值小于即可得到m的取值范圍。

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415090940304554/SYS201208241509423511922240_DA.files/image008.png">.                -------------1分

當(dāng)時(shí)， ，.

令，解得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .

在上遞減，在 上遞增

所以時(shí)，有極小值為，無極大值               

                                                          ---------------3分

（Ⅱ）                              

當(dāng)時(shí)，，  令，得或，令，得；

當(dāng)時(shí)，得，令，得或，令，得；

當(dāng)時(shí)，.                                           

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為. 

                                                        ---------------7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.

所以

.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415090940304554/SYS201208241509423511922240_DA.files/image044.png">恒成立，

所以，整理得.        

                                                        ---------------10分

又 所以，   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415090940304554/SYS201208241509423511922240_DA.files/image048.png"> ，得，

所以所以 .                                

                                                                ---------------12分